Элементы логики


1. Высказывание и формулы

Одним из основных понятий логики потреблять высказывание – повествовательное предложение, о котором дозволительно утверждать, который оно является либо истинным, либо порочным.

Конечно, в языке существуют предложения, о которых мочь сказать, истинные они либо порочные. Например, суждение "Это суждение является порочным". Если допустить, который оно является истинным, то из него выплывает его ошибочность, а если оно является порочным, то имеем, который оно истинно. Следовательно, это суждение мочь оценивать прозрачный высказывание. В действительности оно является вариантом известного парадокса лгуна: мочь сказать, является ли истинной либо порочной речь лгуна "Я вру".

Однако наличие таких парадоксальных предложений не баста вредить нам дальше, поскольку математические знания формулируются именно высказываниями.

Ошибочность либо истинность высказываний может изменяться, например, во времени ("В истовый момент ночь"), в пространстве ("Мы летим над Африкой") и тому подобное. Будем заботиться для высказывание прозрачный для переменную, которая может держать одно из двух значений, – "ошибочность" либо "истина", обозначенные 0 и 1 соответственно. Эти значения считаются противоположными доброжелатель к другу.

Определение. Переменная с возможными значениями "ошибочность" либо "истина" называется пропозицийной.

Будем обозначать пропозицийни переменные большими буквами A, B, C ., возможно, с индексами. Эти буквы также называются пропозицийними.

Из высказываний дозволительно получать другие высказывания, связывая их союзами "и", "или", "если ., то ." впрочем другими. Эти союзы отражаются специальными знаками и называются пропозицийними связками. Будем обозначать их.

Определение. Высказывание вида "Не A" записывается ØA и называется возражением высказывания A. Его вес потреблять противоположным к значению A.

Определение. Высказывание вида "A и B" записывается прозрачный A&B либо AùB либо A×B и называется конъюнкцией высказываний A и B, либо их логическим произведением. Высказывания A и B называются сомножителями конъюнкции. Она истинна, если круг из сомножителей истинный. Если же который желание взаперти из них порочный, то и она порочна. Ее вторично записывают в виде .

Определение. Высказывание вида "A либо B" записывается прозрачный AúB и называется дизъюнкцией высказываний A и B, либо логической суммой (слагаемых дизъюнкции). Она истинна, если который желание одно из слагаемых надежный (возможно, и оба). Если же пара слагаемого порочные, то и она порочна. Ее вторично записывают в виде .

Определение. Высказывание вида "Если A, то B" записывается прозрачный A®b и называется импликацией с предпосылкой A и выводом B. Импликация порочна, если предпосылка истинна, а суждение порочен. Во всех других случаях она истинна. Например, высказывание "Если 2*2=4, то Солнце вращается возле Земли" изза этим определением является порочным, а высказывание "Если 2*2=5, то Солнце вращается возле Земли" – истинным. Импликацию многократно помечают знаком "þ": AþB.

Заметим, который запись A®b читается также, прозрачный "B является необходимым условием для A", либо прозрачный "A является достаточным условием для B", либо прозрачный "Из A выплывает B", либо прозрачный "A исключительно тогда, если B", либо прозрачный "B тогда, если A".

Импликация "Из не B выплывает не A", который отражается (ØB)®(ØA), называется высказыванием, противоположным к высказыванию A®b. Импликация "Из B выплывает A", который отражается B®a, называется высказыванием, обратным к высказыванию A®b.

Определение. Высказывание вида "A тогда и исключительно затем, если B" записывается прозрачный A«b и называется эквивалентностью высказываний A и B. Она истинна, если значения высказываний A и B совпадают. Если же они разные, то эквивалентность порочна. Например, высказывание "Если 2*2=5, то Солнце вращается возле Земли" является истинным. Эквивалентность многократно помечают не знаком "«", а знаком "û".

Заметим, который запись A«b читается также прозрачный "B является необходимым и достаточным условием для A", а также прозрачный "Если A, то B, и если B, то A". Возражение эквивалентности Ø(A«b) читается прозрачный "Или A, либо B". Составлен соединение "или ., либо ." иногда называется "исключительное или". Подчеркнем, который дизъюнкция AúB отличается посредством возражения эквивалентности Ø(A«b).

Определение. Высказывания записывают в виде формул изза такими правилами: 1) пропозицийна буква является формулой; 2) если X и Y – формулы, то (ØX), (XùY), (XúY), (X®y), (X«y) также является формулами; 3) других формул нет.

За этими правилами, предположим Ø(A®b), ((A«b)&(Ø(AúB))) является формулами AúBÙC – нет. Дальше мы рассмотрим согласования, которые позволяют уменьшать запись формул. В частности, эти согласования позволяют оценивать AúBÙC прозрачный формулу. Здесь едва заметим, который дозволительно не малевать внешние дужки формул, например, малевать X®y.

2. Таблицы истинности формул и законы

Формула является словом, то потреблять последовательностью символов – имен пропозицийних переменных, знаков соединение и дужек. Это вокабула имеет определенную структуру, ограниченную правилами построения формул. Подслово этого слова, которое является формулой, называется подформулой. Например, в формуле ((A«b)&(Ø(AúB))) потреблять подформулы A, B (A«b) (AúB) (Ø(AúB)).

Формула, которая помечает высказывание, составленное из других, более простых, имеет значение, которое зависит посредством значений этих составных высказываний. Для его вычисления прежде каждой пропозицийний переменной относится в аналогия одно из значений "ошибочность" либо "истина" (0 либо 1). Дальше изза определениями пропозицийних соединение вычисляется вес подформул, начиная посредством самых простых и заканчивая всей формулой. Значение формул с одной двуместной связкой около всех возможных наборах значений переменных приведено в таблице: A B AùB AúB A®b A«b 0 0 0 1 1 0 1 1

Вычислим вес формулы, предположим (A®b)&(B®a) около всех возможных наборах значений переменных A и B. Вычисление подадим такой таблицей: A B A®b B®a (A®b)&(B®a) 0 0 0 1 1 0 1 1

Таблицы, в которых представлена зависимость значений формул посредством пропозицийних переменных, называются таблицами истинности.

Рассмотрим согласования, которые позволяют уменьшать запись формул. Пропозицийни связки упорядочиваются изза "силой притяжения к формулам" как знакам арифметических операций. Все понимают, который вокабула 1 2´3 помечает сумму 1 и 2´3, а не поделка 1 2 и 3, то потреблять знак умножения "притягивается" сильнее знака добавления. Связка Ø считается самой сильной, то потреблять ØAÙB является сокращением посредством (ØA)ÙB, а не посредством Ø(AùB). Дальше изза спадением "силы притяжения" двуместные связки идут в таком порядке: &, Ú, ®, º. Следовательно, формулу AúBÙC дозволительно рассматривать, прозрачный сокращена запись формулы Aú(BùC), а формулу AºB®CÚA – прозрачный Aº(B®(CúA)).

Все двуместные связки имеют фасон левостороннего связывания. Это вероятно который если справа и влево посредством подформулы записаны без дужек знаки двуместные связь, "сила притяжения" которых одинакова, то первой к подформуле применяется левая из них. Например, AúBÚC является сокращенной записью формулы (AúB)ÚC.

Определение. Две формулы называются эквивалентными, либо равносильными, если принимают одинаковые значения около всех возможных значениях пропозицийних переменных. Ривносильнисть формул отражается знаком º и в логике называется законом.

Например, нетрудно убедиться, который около произвольных формулах A, B, C следующие ривносильности является законами (справа указаны названия некоторых из них): AùB º BùA, AúB º BúA – законы комутативности Aù(BùC) º (AùB)ÙC, Aú(BúC) º (AúB)ÚC – законы ассоциативности Aù(BúC) º (AùB)Ú(AùC), Aú(BùC) º (AúB)Ù(AúC) – законы дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции и дизъюнкции относительно конъюнкции AùA º A, AúA º A – законы идемпотентности Aú(AùB) º A, Aù(AúB) º A Ø(AúB) º ØAÙØB, Ø(AùB) º ØAÚØB – законы Где Моргана ØØA º A – начало двойного возражения Aù0 º 0, Aù1 º A, Aú0 º A, Aú1 º 1 – законы поглощения AúØA º 1 – начало исключенного третьего AùØA º 0 – начало противоречия A®b º ØB®ØA – начало контрапозиции

Полезно также памятовать вторично два закона: (12) A®b º ØAÚB (13) A«b º (A®b)Ù(B®a).

На законах основываются беспричинно называемые равносильные превращения формул, если изречение либо ее подформула замещается для равносильную ей. В результате получается формула, равносильная начальной. Такие превращения бывают нужные для упрощения формул. Например, изречение Aú(ØA®B) имеет равносильные формулы Aú(ØØAÚB), Aú(AúB), (AúA)ÚB, AúB, который получаются последовательным применением законов (12) (7) (2) (4).

3. Нормальные формы высказываний

Рассмотрим две разновидности формул, которые имеют определенные структурные особенности. Именно конструкция этих формул предопределяет их использование в таких важных отраслях применения математической логики, прозрачный автоматизация доведения утверждений и логическое программирование.

Законы (2) утверждают ассоциативность соединение конъюнкции. Отсюда изречение вида ((.((A1ùA2)ÙA3)Ù.)ÙAn) имеет эквивалентную запись A1ùA2ÙA3Ù.ÙAn. Формула в такой записи называется конъюнкцией формул A1, A2, A3 ., An.

Определение. Элементарной конъюнкцией называется конъюнкция формул, каждая из которых является либо пропозицийной переменной, либо возражением такой. Например, A1ùØA2ÙA3.

Определение. Дизъюнктивной нормальной формой (сокращенно ДНФ) называется дизъюнкция элементарных конъюнкций. Например, изречение AùBÚBÙCÚD. Заметим, который ее структуру лучше видно в записи A×BÚB×CÚD либо в записи .

Любая изречение может коснеть преобразована к ДНФ. Мы не будем доставлять это утверждение, а едва опишем нужные равносильные превращения. Применением законов (13) и (12) дозволительно лишиться соединение « и ®, то потреблять превратить формулу к равносильной, в которой потреблять едва связки Ø, Ú и Ù. Дальше, если в формуле потреблять ответ дизъюнкций либо конъюнкций, то они "спускаются" к пропозицийних переменным применением законов Где Моргана (6). Дальше, если в формуле потреблять множители-дизъюнкции, то посредством них дозволительно избавиться применениям первого из законов дистрибутивности (3). В результате вдосталь множители в конъюнкциях формулы потреблять элементарными, и она являет собой ДНФ. Применение законов (1), (2), (4), (5), (7) -(10) может сократить сей процесс.

Пример. Рассмотрим перемена (A®b)«(C®b). После знаков º в дужках указаны номера законов, примененных около дежурном превращении: (A®b)«(B®c) º(13, 12) º(Ø(ØAÚB)Ú(ØCÚB))×(Ø(ØCÚB)Ú(ØAÚB)) º(6, 7, 2) º (A×ØBÚØCÚB)×(ØB×CÚØAÚB) º(3) º A×ØB×ØB×CÚA×ØB×ØAÚA×ØB×BÚØC×ØB×CÚØC×ØAÚØC×BÚ ÚB×ØB×CÚB×ØAÚB×B º(1, 4, 9, 8) º A×ØB×CÚØA×ØCÚB×ØCÚB×ØAÚB º(5) º A×ØB×CÚØA×ØCÚB

За законами (2) связки дизъюнкции также ассоциативные, откуда формулы ((.((A1úA2)Ú A3)Ú .)ÚAn) и A1úA2ÚA3Ú.ÚAn также потреблять эквивалентными. Последняя из них называется дизъюнкцией формул A1, A2, A3 ., An.

Определение. Элементарной дизъюнкцией называется дизъюнкция формул, каждая из которых является либо пропозицийной переменной, либо возражением такой. Например, A1úØA2ÚA3.

Определение. Конъюнктивной нормальной формой (сокращенно КНФ) называется конъюнкция элементарных дизъюнкций. Например, изречение (AúB)Ù(ØBÚCÚØD), какую дозволительно налог также в виде .

Любая изречение превращается к равносильной ей КНФ с использованием тех же законов, исключительно взамен первого из законов дистрибутивности (3) употребляется второй: Aú(BùC) º (AúB)Ù(AúC).

Пример. Рассмотрим перемена формулы (A®b)«(C®b) впоследствии одержання формули (A×ØBÚØCÚB) ×(ØB×CÚØAÚB): (A×ØBÚØCÚB)×(ØB×CÚØAÚB) º(3) º (A×ØBÚØC)(A×ØBÚB)×(ØB×CÚØA)×(ØB×CÚB) º(3) º (AÚØC)×(ØBÚØC)×(AÚB)×(ØBÚB)×(ØBÚØA)×(CÚØA)× ×(ØBÚB)×(CÚB) º(9) º (AúØC)×(ØBÚØC)×(AúB)×(ØBÚØA)×(CúØA)×(CúB) 4. Тавтология, противоречия и логические выводы

Определение. Формула называется тотожне истинной, либо тавтологией, если имеет вес 1 около всех возможных значениях пропозицийних переменных.

Например, AúØA ли (A®b)Ú(B®a). Нетрудно также убедиться, который заменой знаков º для связи « в законах (1) -(13), приведенных в п.1.1, получается именно тавтология.

Тавтология характерна тем, который если вдосталь вхождения той же буквы заменить для любое, впрочем одно и то же высказывание, то небывалое высказывание баста истинным. Например, подставим в тавтологию ((AúB)ÙØB)®A взамен буквы A высказывания "светит солнце", а взамен буквы B – "светят зори". Получено высказывание "Если светит солнце либо светят зори, и не светят зори, то светит солнце" является истинным. Подчеркнем, который сама применительно себе конструкция этого высказывания уже обеспечивает его истинность.

Нетрудно убедиться, который если тавтологией является некоторая изречение X и изречение X®y, то Y также является тавтологией.

Определение. Формула называется тотожне порочной, либо противоречием, если имеет вес 0 около всех возможных значениях пропозицийних переменных.

Одним из характерных примеров противоречия потреблять высказывание AùØA. Это ответ используется в доведении утверждений вида A®b методом "от противоположного". Допускают истинность возражения Ø(A®b), то потреблять истинность AùØB. Из истинности ØB выводят ØA, получая ответ AùØA. Она свидетельствует относительный ошибочности AùØB, то потреблять истинность A®b.

Заметим, который для доведения истинности A®b довольно из ØB видно ØA, то потреблять довести истинность противоположного утверждения ØB®ØA. Ведь применительно закону контрапозиции (11) A®b º ØB®ØA

Очевидно, который ответ всякий тавтологии является противоречием, и наоборот. В знак посредством тавтологии, подстановка высказываний в противоречии порождает порочные высказывания.

Теперь рассмотрим мысль логического вывода. В математике, прозрачный и в обычной жизни, придется выяснять, выплывает ли некоторое согласие из одного либо нескольких других, то потреблять есть ли это согласие их логическим выводом.

Пример. Допустимо, который покупательная ловкость денег падает, если растут налоги, и который личность неудовлетворены, если падает покупательная ловкость денег. Допустимо также, который налоги растут. Отсюда дозволительно вкрасться к выводу, который личность неудовлетворены.

Для этого обозначим высказывание буквами: A – "налоги растут" B – "покупательная ловкость денег падает" C – "люди неудовлетворены".

Предположение примеру выразим формулой: (A®b)Ù(B®c)ÙA.

Доведем, около истинности такого условия истинным баста высказывание C. Превратим (A®b)Ù(B®c)ÙA к ДНФ: (A®b)Ù(B®c)ÙA º (ØAÚB)Ù(ØBÚC)ÙA º Aù(ØAÚB)Ù(ØBÚC) º º (AùØA)Ù(AùB)Ù(ØBÚC) º (AùB)Ù(ØBÚC) º º (AùBÙØB)Ú(AùBÙC) º AùBÙC.

Следовательно, имеем, который истинной является изречение AùBÙC. Но она истинна едва тогда, если круг сомножитель истинен. Отсюда высказывание C является истинным.

Таким образом из истинности формул (A®b), (B®c) и A выплывает истинность C. В таком случае C называется логическим выводом этих формул.

Определение. Формула Y называется логическим выводом формул X1, X2 ., Xn, если из истинности X1ùX2Ù.ÙXn выплывает истинность формулы Y. Формулы X1, X2 ., Xn называются предпосылками Y.

Проверить, потреблять ли одна изречение логическим выводом других, дозволительно с посредством сравнения таблиц истинности этой формулы и конъюнкции других. Но дозволительно влиять весь иным способом для основе двух следующих утверждений.

Теорема 1. Формула Y является логическим выводом формул X1, X2 ., Xn тогда и исключительно затем, если изречение (X1ùX2Ù.ÙXn)®Y является тавтологией.

Доведение. 1 (Необходимость). Допустимо, который изречение Y является логическим выводом формул X1, X2 ., Xn. Если около некоторых значениях букв в формулах X1, X2 ., Xn который желание одна из них порочная, то изза определением импликации (X1ùX2Ù.ÙXn)®Y истинная. Если же около некоторых значениях букв в формулах X1, X2 ., Xn вдосталь они истинны, X1ùX2Ù.ÙXn также истинная. Но изречение Y является логическим выводом формул X1, X2 ., Xn, потому она также истинная. Тогда истинная и изречение (X1ùX2Ù.ÙXn)®Y. Следовательно, около любых значениях букв (X1ùX2Ù.ÙXn)®Y истинная, то потреблять является тавтологией.

2 (Достаточность). Допустимо, который (X1ùX2Ù.ÙXn)®Y является тавтологией. Тогда если около каких-то значениях букв в формулах X1, X2 ., Xn вдосталь они истинны, то Y также истинная, то потреблять есть их логическим выводом.

Теорема 2. Формула Y является логической выводом формул X1, X2 ., Xn тогда и исключительно затем, если изречение (X1ùX2Ù.ÙXnÙØY) является противоречием.

Доведение. За теоремой 1, изречение Y является логическим выводом формул X1, X2 ., Xn тогда и исключительно затем, если изречение (X1ùX2Ù.ÙXn)®Y является тавтологией. Отсюда Y является логическим выводом формул X1, X2 ., Xn тогда и исключительно затем, если ответ Ø((X1ùX2Ù.ÙXn)®Y)является противоречием. Но Ø((X1ùX2Ù.ÙXn)®Y) º Ø(Ø(X1ùX2Ù.ÙXn)ÚY) º º Ø(Ø(X1ùX2Ù.ÙXn))ÙØY º X1ùX2Ù.ÙXnÙØY.

Таким образом, согласие теоремы истинно.

Рассмотрим иносказание применения приведенных теорем. Докажем, который изречение B является логическим выводом формул A®b и A. Превратим формулу (A®b)ÙAÙØB: (A®b)ÙAÙØB º (ØAÚB)ÙAÙØB º (ØAÙAÙØB)Ú(BùAÙØB) º 0ú0 º 0.

Следовательно, изречение (A®b)ÙAÙØB противоречивая, и изза теоремой 2 изречение B является логическим выводом формул A®b и A.

Тот факт, который изречение B является логическим выводом формул A®b и A, играет в математике зело важную роль. Он позволяет из уже известных истинных утверждений A®b и A получить небывалое истинное согласие B. Заметим, который такой способ получения, либо выведение новых утверждений в математической логике потреблять одним из основных. Такое выведение задается специальным правилом выведения, которое имеет вид и назову modus ponens (правило отделение). Оно позволяет получить суждение B утверждения A®b прозрачный отдельное высказывание, то потреблять делить его вид предпосылки A. В математической логике существуют и другие правила выведения, впрочем здесь мы их не рассматриваем.

Подобьем короткий неформальный итог. Мы познакомились с двумя принципиально разными способами получение новых высказываний. Первый заключается в том, который мы строим сложные высказывания из более простых с посредством логических связь, а также "перестраиваем" их, выполняя равносильные превращения для основе законов. Описаны способы построения и превращения высказываний составляют основу алгебры высказываний.

Второй способ получения новые истинные высказываний заключается в применении упомянутых правил выведения к уже известным истинным высказываниям. При этом формулируется преподавание высказываний-тавтологии, которая составляет основу для выведения других. Они называются аксиомами, а высказывания, которые выводятся, – теоремами. Примером аксиомы может быть высказывание AúØA, какое называется законом исключенного третьего. Такой способ порождения высказываний называется исчислением высказываний.

Подчеркнем вторично раз, который в этом разделе нашей целью является едва знание с основными понятиями и языком обозначений логики, потому мы не касаемся ее существенных вопросов. Они раскрываются во многих источниках (см. перечень заказной литературы).

5. Неформальное знание с кванторами

В математике, прозрачный и в повседневной жизни, возникают согласие со специфической структурой. Эта конструкция делает возможными рассуждения, которые мочь воспроизвести выведениям высказываний. Классическим примером таких рассуждений является:

Каждый личность смертен.

Сократ – человек.

Отсюда выплывает, который Сократ смертен.

Очевидно, который высказывание "Сократ смертный" не является логическим выводом предпосылок "Каждый личность смертен" и "Сократ – человек". Однако корректность приведенных рассуждений ни у кого не вызывает сомнения. Очевидно, который она предопределена каким-то особенным содержанием болтовня "каждая".

Введем дополнительные обозначения. Пусть x помечает некоторую переменную, значения которой могут держать некоторое фасон P. Такие переменные называются предметными. Высказывание "x имеет фасон P" обозначим P(x). Например, высказывание "Целое день x является парным" обозначим E(x). Значение такого высказывания зависит посредством значения этой переменной. При x=1 высказывание E(x) порочно, около x=2 – истинное. Вместо буквы x дозволительно долг ее значение, например, E(2).

Предложение "Каждое вес x имеет фасон P", либо "Все значения x имеют фасон P", либо "Все x имеют фасон P", либо "При всех x исполняется фасон P" обозначим записью "x P(x). В этой записи выпуск "x называется квантором всеобщности. Слово "квантор" происходит посредством болтовня "квантификация", которое означает "количественное выражение". Продолжая иносказание о парных числах, заметим, который согласие "x E(x) является порочным.

Предложение "Существует вес x, который имеет фасон P", либо "Некоторые значения x имеют фасон P", либо "При некотором значении x исполняется фасон P", либо "Некоторые x имеют фасон P" обозначим записью P(x). В этой записи выпуск называется квантором существования. Очевидно, который в примере о парных числах утверждения E(x) является истинным.

Очевидно, что "x P(x)® P(x) причем утверждения "x P(x) и P(x) неравносильны.

Рассмотрим некоторые из возможных применений пропозицийних соединение к выражениям с кванторами. Возражение Ø("x P(x)) читается прозрачный "неистинно, который вдосталь значения x имеют фасон P", то потреблять прозрачный "существует вес x, который не имеет фасон P". Такое суждение дозволительно обозначить прозрачный ØP(x). Таким образом Ø("x P(x)) º ØP(x).

Аналогично Ø( ØP(x)) º "x ØP(x).

Высказывание "x P(x)Ù "x Q(x) читается прозрачный "все значения x имеют фасон P и вдосталь значения x имеют фасон Q", то потреблять "все значения x имеют фасон P и фасон Q". Таким образом ("x P(x))Ù("x Q(x)) º "x (P(x)ÙQ(x)).

Высказывание "x P(x)Ú "x Q(x) читается прозрачный "все значения x имеют фасон P либо вдосталь значения x имеют фасон Q". Из этого вече выплывает, который "все значения x имеют фасон P либо фасон Q", впрочем эти два вече не равносильные. Таким образом, "x(P(x)ÚQ(x)) является логическим выводом высказывания ("x P(x))Ú("x Q(x)), то есть (("x P(x))Ú("x Q(x))) ® "x(P(x)ÚQ(x)) но они неравносильны.

Пример. Если P(x) помечает суждение "x – парное число", а Q(x) – "x – нечетное число", то высказывание "x(P(x)ÚQ(x)) является истинным, а ("x P(x))Ú("x Q(x)) – порочным.

В конце рассмотрим суждение с двумя и больше кванторами. Они появляются, если договориться речь о свойствах пар, троек и тому подобное переменных. Например, суждение "При любом натуральном значении x существует вес в, такое, который x является делителем в" дозволительно долг как "x ( D(x, в)) где D(x, в) помечает суждение "x является делителем в".

Предложение вида "При любом значении x исполняется, который около любом значении в действительно A(x, в)" дозволительно обозначить так: "x ("в A(x, в)).

Будем макать дужки, записывая, например, "x D(x, в) либо "x "в A(x, в). Последнее вокабула дозволительно прочитать также, прозрачный "При любом значении x и около любом значении в действительно A(x, в)".

Аналогично суждение вида " При любом значении x и около любом значении в и около любом значении z действительно A(x в, z)" дозволительно обозначить выражением "x "в "z A(x, в, z).

И беспричинно далее. Рассмотрим, например, согласие большой теоремы Ферма:

Уравнение zn=xn yn, где n – целое число, больше 2, не имеет решений в целых положительных числах.

Одной из возможных записей этого утверждения потреблять такой: "x "в "z "n ((n>2) ® (zn¹xn yn)).