Курсовая: «Корни многочлена над разными числовыми полями», Абстрактная алгебра

Содержание
  1. Определение многочлена
  2. Многочлены и их свойства
  3. 1. Определение многочлена
  4. 2. Степень многочлена
  5. 3. Корни многочлена
  6. 4. Рациональные и иррациональные корни
  7. 5. Множество корней
  8. Степень и коэффициенты многочлена
  9. Корни многочлена и их связь с коэффициентами
  10. Числовые поля
  11. Примеры числовых полей:
  12. Определение числового поля
  13. Примеры числовых полей:
  14. Построение числовых полей:
  15. Примеры числовых полей
  16. Другие примеры числовых полей:
  17. Структура числового поля
  18. Определение
  19. Примеры
  20. Корни многочлена над числовыми полями
  21. Многочлены и их корни
  22. Значение корней многочлена над числовыми полями
  23. Комплексные корни многочлена
  24. Пример:
  25. Выводы:
  26. Корни многочлена над полем вещественных чисел
  27. Корни многочлена
  28. Существование корней
  29. Комплексные корни
  30. Относительная кратность корня
  31. Корни многочлена над конечными полями
  32. Теорема о существовании корней
  33. Теорема о числе корней
  34. Теорема о поле разложения
  35. Пример
  36. Взаимосвязь корней многочлена над разными числовыми полями
  37. 1. Корни многочлена и его коэффициенты
  38. 2. Расширение числовых полей и корней многочлена
  39. Практическое применение
  40. 1. Теория кодирования
  41. 2. Криптография
  42. 3. Решение уравнений и систем уравнений
  43. 4. Компьютерная графика

Определение многочлена

Многочлен – это алгебраическая функция, представленная в виде суммы конечного числа слагаемых, каждое из которых является произведением степени переменной на некоторый коэффициент. Многочлены широко используются в математике и физике для моделирования и решения различных задач.

Формально, многочлен можно записать в виде:

P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0

где:

  • P(x) — название многочлена;
  • x — переменная;
  • an, an-1, …, a2, a1, a0 — коэффициенты многочлена;
  • n — степень многочлена, целое неотрицательное число.

Например, многочлен P(x) = 2x3 — 5x2 + 3x + 1 имеет степень 3 и состоит из четырех слагаемых, где каждое слагаемое представляет собой произведение степени переменной на коэффициент.

Многочлены могут быть записаны не только в общей форме, но и в других формах, таких как каноническая и форма разложения на множители. Каждая из этих форм имеет свои преимущества и может быть полезна в определенных ситуациях.

Многочлены и их свойства

Многочлены — это основной объект изучения в алгебре. Они представляют собой выражения, состоящие из переменных и констант, связанных операциями сложения и умножения. Многочлены могут иметь одну или несколько переменных, их степень определяется по наибольшей степени переменных, содержащихся в многочлене.

Многочлены обладают несколькими важными свойствами:

1. Определение многочлена

Многочлены представляют собой выражения вида:

P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0,

где x — переменная, an, an-1, …, a1, a0 — коэффициенты многочлена.

2. Степень многочлена

Степень многочлена определяется по наибольшей степени переменной в многочлене. Например, многочлен P(x) = 2x3 + 5x2 — 3x + 1 имеет степень 3.

3. Корни многочлена

Корни многочлена — это значения переменной, при подстановке которых многочлен равен нулю. Например, многочлен P(x) = x2 — 4 имеет корни x = 2 и x = -2.

4. Рациональные и иррациональные корни

Корни многочлена могут быть рациональными или иррациональными. Рациональные корни — это корни, которые можно представить в виде дроби. Иррациональные корни — это корни, которые не могут быть представлены в виде дроби и обычно имеют бесконечное десятичное представление. Например, корень многочлена P(x) = x2 — 2 имеет иррациональное значение √2.

5. Множество корней

Множество корней многочлена может быть конечным или бесконечным. В зависимости от степени и коэффициентов многочлена, он может иметь 0, 1 или несколько корней. Например, многочлен P(x) = 3x2 — 6x + 3 имеет единственный корень x = 1, а многочлен Q(x) = x2 + 1 не имеет корней.

Многочлены и их свойства являются основой для решения уравнений, факторизации многочленов, поиска корней и многих других задач в математике и ее приложениях.

Степень и коэффициенты многочлена

Многочлен — это алгебраическое выражение, состоящее из переменной и коэффициентов, связанных операциями сложения и умножения. Каждый коэффициент является числом, их порядок также определен.

Степень многочлена — это наивысший показатель переменной в выражении. Например, в многочлене 3x^2 + 2x + 1 степень равна 2, так как это наивысший показатель переменной x.

Коэффициенты многочлена являются числами, которые указывают на величину и знак каждого члена многочлена. Коэффициент при переменной с наивысшей степенью называется ведущим коэффициентом, и он имеет наибольшую важность в выражении.

Многочлен может иметь различные степени и коэффициенты, в зависимости от своего вида. Например, многочлены нулевой степени не содержат переменных и имеют только константные коэффициенты. Многочлены первой степени содержат только одну переменную и имеют коэффициенты при этой переменной и свободный член. Высшие степени многочлена могут иметь больше переменных и больше членов с соответствующими коэффициентами.

Степень и коэффициенты многочлена важны для анализа его свойств и решения уравнений, в которых он является фактором. Зная степень многочлена, можно определить его поведение при определенных значениях переменной и понять, будет ли у него решение.

Корни многочлена и их связь с коэффициентами

Многочлены являются важным объектом изучения в математике и имеют широкое применение в различных областях, начиная от алгебры и анализа до физики и экономики. Одно из важных свойств многочленов — их корни или, другими словами, значения переменной, при которых многочлен обращается в ноль.

Корни многочлена играют важную роль в алгебре и связаны с его коэффициентами. Действительные корни многочлена могут быть найдены с использованием теоремы Безу, которая утверждает, что если число $a$ является корнем многочлена, то многочлен делится на $x-a$ без остатка. Исходя из этого, можно сформулировать следующий алгоритм для поиска корней многочлена:

  1. Подставить различные значения вместо переменной и проверить, обращается ли многочлен в ноль.
  2. Если многочлен обращается в ноль при подстановке какого-то значения, то это значение является корнем многочлена.
  3. Повторить шаги 1-2 для оставшихся коэффициентов многочлена, получив многочлен меньшей степени.
  4. Повторить шаги 1-3, пока не будут найдены все корни многочлена.

Связь между корнями многочлена и его коэффициентами может быть описана с использованием теоремы Виета. Эта теорема, названная в честь французского математика Франсуа Виета, устанавливает, что сумма корней многочлена равна отрицанию коэффициента при старшей степени, а произведение корней равно коэффициенту свободного члена, т.е. коэффициенту при $x^0$. Такие связи между корнями и коэффициентами многочлена позволяют нам извлекать информацию о корнях многочлена, используя только его коэффициенты, и наоборот.

Исследование корней многочленов и их связи с коэффициентами имеет важное значение в решении уравнений, построении графиков многочленов, нахождении минимумов и максимумов функций, а также в других приложениях. Понимание этих связей позволяет более глубоко понять структуру и свойства многочленов и их корней.

Числовые поля

Числовые поля – это алгебраические структуры, которые обладают свойствами, схожими с обычными числами, но имеют свои особенности. Они являются расширениями обычных числовых систем и позволяют решать более сложные математические задачи.

Основное свойство числовых полей – это то, что в них выполнены все основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Это позволяет выполнять операции с числами в этих полях так же, как и с обычными числами.

Примеры числовых полей:

  • Рациональные числа (Q): это числовое поле, которое содержит все числа, которые можно представить в виде обыкновенной или десятичной дроби.
  • Действительные числа (R): это числовое поле, которое содержит все рациональные числа, а также иррациональные числа, такие как квадратный корень из 2.
  • Комплексные числа (C): это числовое поле, которое содержит все действительные числа, а также мнимую единицу i, которая является квадратным корнем из -1.

Каждое из этих числовых полей имеет свои специфические особенности. Например, в рациональных числах можно точно представить десятичную дробь, а в действительных числах можно решать уравнения с иррациональными корнями. Комплексные числа позволяют решать уравнения, которые не имеют решения в действительных числах.

Числовые поля широко применяются в различных областях математики и физики. Они играют ключевую роль в алгебре, анализе, геометрии и других математических дисциплинах. Понимание и использование числовых полей позволяет решать сложные задачи и находить новые математические свойства и закономерности.

Определение числового поля

Числовое поле — это алгебраическая структура, в которой определены операции сложения, вычитания, умножения и деления. Числовое поле обладает двумя основными свойствами: ассоциативностью и коммутативностью. Ассоциативность означает, что результат операции не зависит от порядка чисел, над которыми она выполняется. Коммутативность говорит о том, что результат операции не зависит от порядка чисел, над которыми она выполняется.

Числовое поле может быть конечным или бесконечным. Конечное числовое поле содержит конечное количество элементов, а бесконечное числовое поле содержит бесконечное количество элементов. Примеры конечных числовых полей включают в себя поле вычетов по модулю и поле Галуа.

Примеры числовых полей:

  • Рациональные числа (Q): это поле, содержащее все дроби вида p/q, где p и q — целые числа, а q не равно нулю.
  • Вещественные числа (R): это поле, содержащее все числа, которые можно представить на числовой прямой.
  • Комплексные числа (C): это поле, содержащее все числа вида a + bi, где a и b — вещественные числа, а i — мнимая единица (i^2 = -1).

Построение числовых полей:

Чтобы построить числовое поле, мы начинаем с множества элементов, называемых базисными элементами, и определяем операции сложения и умножения между ними. Эти операции должны удовлетворять определенным аксиомам, таким как закон дистрибутивности и существование обратного элемента для операции сложения.

Например, для построения рациональных чисел мы начинаем с множества всех дробей p/q, где p и q — целые числа, а q не равно нулю. Мы определяем операции сложения и умножения таким образом, что они удовлетворяют аксиомам поля. Например, сложение двух дробей p/q и r/s определяется как (ps + qr)/(qs), а умножение определяется как (pr)/(qs). Таким образом, мы получаем поле рациональных чисел.

Примеры числовых полей

Числовое поле — это алгебраическая структура, которая обладает основными арифметическими операциями и удовлетворяет некоторым аксиомам. Одним из самых известных числовых полей является поле вещественных чисел, обозначаемое как ℝ. Оно состоит из всех действительных чисел, включая рациональные и иррациональные числа, и обладает свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. Вещественные числа используются повседневно для измерения, вычислений и моделирования физических явлений.

Еще одним примером числового поля является поле комплексных чисел, обозначаемое как ℂ. Оно состоит из всех чисел вида a + bi, где a и b — вещественные числа, а i — мнимая единица, удовлетворяющая уравнению i² = -1. Поле комплексных чисел обладает свойствами коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности и обратимости. Комплексные числа широко используются в математике, физике и инженерии.

Другие примеры числовых полей:

  • Поле рациональных чисел, обозначаемое как ℚ. Оно состоит из всех чисел, которые можно представить в виде дроби p/q, где p и q — целые числа, а q ≠ 0. Рациональные числа обладают свойствами коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности и обратимости.
  • Конечные поля, также называемые полем Галуа или простым полем. Они состоят из конечного числа элементов и имеют особые свойства. Примерами конечных полей являются поле вычетов по простому модулю и поле из двух элементов (бинарное поле).
  • Алгебраические расширения полей. Если добавить к полю новый элемент, удовлетворяющий некоторому алгебраическому уравнению, то получится алгебраическое расширение поля. Например, поле комплексных чисел является алгебраическим расширением полей вещественных и рациональных чисел.

Описанные примеры числовых полей являются лишь небольшой частью множества возможных числовых полей. Каждое числовое поле имеет свои уникальные свойства и применения в различных областях математики и науки.

Структура числового поля

Числовое поле — это множество, на котором определены операции сложения и умножения, обладающие определенными свойствами. В структуре числового поля существует набор аксиом, которые выполняются для всех элементов поля.

Определение

Числовое поле F — это множество, в котором определены две операции: сложение (+) и умножение (·), и выполняются следующие аксиомы:

  1. Замкнутость относительно сложения и умножения: если a и b — элементы поля F, то a + b и a · b также принадлежат F.
  2. Ассоциативность сложения и умножения: для любых a, b и c из F выполняются соотношения (a + b) + c = a + (b + c) и (a · b) · c = a · (b · c).
  3. Существование нулевого элемента и единичного элемента: в поле F существуют элементы 0 и 1, такие что для любого a из F выполняются равенства a + 0 = a и a · 1 = a.
  4. Существование обратного элемента: для каждого a из F, кроме 0, существует обратный элемент (-a) такой что a + (-a) = 0.
  5. Коммутативность сложения и умножения: для любых a и b из F выполняются равенства a + b = b + a и a · b = b · a.
  6. Распределительный закон: для любых a, b и c из F выполняется равенство a · (b + c) = a · b + a · c.

Примеры

Наиболее известными примерами числовых полей являются:

  • Множество рациональных чисел Q, состоящее из всех дробей вида m/n, где m и n — целые числа, а n не равно 0.
  • Множество действительных чисел R, которое включает в себя все рациональные числа и иррациональные числа, такие как корень из 2 или пи.
  • Множество комплексных чисел C, которое состоит из пар чисел (a, b), где a и b — действительные числа, и определены операции сложения и умножения, заданные правилами (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) и (a, b) · (c, d) = (ac — bd, ad + bc).

Все эти числовые поля удовлетворяют аксиомам, определенным для структуры числового поля. Каждое из них имеет свои особенности и применения в математике и ее приложениях.

Корни многочлена над числовыми полями

Корни многочлена над числовыми полями являются важным понятием в алгебре. Многочлены играют существенную роль в различных областях математики и физики, и понимание их корней является важной задачей.

Чтобы понять, что такое корни многочлена над числовыми полями, сначала нужно понять, что представляет собой числовое поле. Числовое поле — это множество элементов, в котором определены операции сложения, вычитания, умножения и деления. Примером числового поля является множество действительных чисел или комплексных чисел.

Многочлены и их корни

Многочлен — это алгебраическая функция вида:

P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0,

где an, an-1, …, a1, a0 — коэффициенты многочлена, а n — его степень.

Корень многочлена — это значение x, для которого многочлен обращается в ноль. Другими словами, корень многочлена P(x) — это такое значение x, при подстановке которого в уравнение P(x) = 0 получается верное равенство.

Когда мы говорим о корнях многочлена над числовыми полями, мы рассматриваем значения x, которые принадлежат определенному числовому полю. Например, многочлен P(x) с корнями вещественные числа будет иметь корни, принадлежащие множеству действительных чисел.

Значение корней многочлена над числовыми полями

Значение корней многочлена над числовыми полями может иметь важные следствия для его свойств и дальнейших рассуждений. Корни многочлена могут быть рациональными (принадлежащими множеству рациональных чисел), иррациональными (принадлежащими множеству иррациональных чисел) или комплексными (принадлежащими множеству комплексных чисел).

Значение корней многочлена над числовыми полями может быть использовано для факторизации многочлена, определения его степени и поиска других свойств. Корни многочлена могут помочь нам понять его поведение, как он ведет себя в различных точках числового поля.

Понимание корней многочлена над числовыми полями является необходимым инструментом для решения множества задач в алгебре и других областях математики. Оно позволяет нам анализировать многочлены и применять их в решении различных практических задач.

Комплексные корни многочлена

Многочлены играют важную роль в алгебре, а их корни являются основными объектами исследования. Корни многочлена определяются как значения переменной, при которых многочлен равен нулю. В случае комплексных чисел, многочлен может иметь комплексные корни, которые являются комплексными числами.

Комплексные числа представляются в виде a + bi, где a и b — вещественные числа, а i — мнимая единица, которая определяется как i^2 = -1. Корни комплексного многочлена могут быть найдены с использованием теоремы о разложении многочлена на линейные множители. Эта теорема утверждает, что любой многочлен над комплексными числами может быть разложен на линейные множители, у которых корнями являются комплексные числа.

Пример:

Рассмотрим многочлен f(x) = x^2 + 1. Чтобы найти его корни, нужно найти значения x, при которых f(x) = 0. Подставим переменную x = i в многочлен:

f(i) = (i)^2 + 1 = -1 + 1 = 0.

Таким образом, i является корнем многочлена f(x).

Комплексные корни могут иметь разное количество. Теорема о разложении многочлена на линейные множители позволяет найти все корни многочлена, которые могут быть как вещественными, так и комплексными числами.

Выводы:

  • Многочлены имеют корни, которые определяются как значения переменной, при которых многочлен равен нулю.
  • Корни многочлена могут быть вещественными числами, комплексными числами или обоими.
  • Комплексные числа представляются в виде a + bi, где a и b — вещественные числа, а i — мнимая единица.
  • Комплексные корни многочлена могут быть найдены с использованием теоремы о разложении многочлена на линейные множители.

Корни многочлена над полем вещественных чисел

Многочлены над полем вещественных чисел — это алгебраические выражения, содержащие переменные и коэффициенты, которые являются вещественными числами. Корни многочлена над полем вещественных чисел — это значения переменных, при которых многочлен обращается в ноль.

Корни многочлена над полем вещественных чисел могут быть как рациональными (выражающимися дробями), так и иррациональными (невыражающимися дробями). Например, многочлен f(x) = x^2 — 2 имеет два корня над полем вещественных чисел: x = -√2 и x = √2.

Корни многочлена

Для нахождения корней многочлена над полем вещественных чисел можно использовать различные методы, включая алгоритм деления с остатком, методы факторизации и алгоритмы численного решения уравнений.

  • Для многочленов степени не выше второй существуют аналитические формулы, позволяющие выразить корни через коэффициенты многочлена. Например, квадратное уравнение ax^2 + bx + c = 0 имеет корни x = (-b ± √(b^2 — 4ac)) / (2a).
  • Для многочленов степени выше второй существуют различные численные методы, такие как метод Ньютона или метод Брента, которые позволяют найти приближенные значения корней многочлена.

Существование корней

Многочлен над полем вещественных чисел всегда имеет хотя бы один корень, если его степень больше нуля. Это следует из основной теоремы алгебры, которая утверждает, что любой многочлен над полем комплексных чисел имеет хотя бы один корень в комплексной плоскости.

Однако, действительные корни могут быть либо рациональными, либо иррациональными. Например, многочлен f(x) = x^2 — 2 имеет два действительных корня x = -√2 и x = √2, но они являются иррациональными числами.

Комплексные корни

Комплексные корни многочлена над полем вещественных чисел могут быть найдены посредством деления многочлена на комплексное число и использования теоремы Безу. Например, многочлен f(x) = x^2 + 1 имеет два комплексных корня: x = i и x = -i, где i — мнимая единица, такая что i^2 = -1.

Относительная кратность корня

Многочлен над полем вещественных чисел может иметь кратные корни, то есть корни, которые встречаются несколько раз. Относительная кратность корня — это количество раз, сколько корень встречается в многочлене. Например, многочлен f(x) = (x — 1)^3(x + 2) имеет корень x = 1 относительной кратности 3 и корень x = -2 относительной кратности 1.

Корни многочлена над полем вещественных чисел играют важную роль в различных областях математики и физики. Они помогают решать уравнения, определять графики функций и изучать свойства математических объектов.

Корни многочлена над конечными полями

Корни многочлена над конечными полями — это важная тема в алгебре, которая изучается в контексте конечных полей. Конечные поля, также известные как галуаовы поля, имеют конечное количество элементов и являются базовыми структурами для изучения алгебры.

Многочлен над конечным полем — это многочлен, у которого все коэффициенты и корни находятся в этом поле. Корни многочлена — это значения переменной, при которых многочлен обращается в ноль. Например, многочлен x^2 — 1 имеет два корня: 1 и -1.

Теорема о существовании корней

Теорема о существовании корней утверждает, что для любого ненулевого многочлена над конечным полем существует хотя бы один корень. Это следует из принципа Дирихле, который гласит, что если n объектов распределены по m ящикам, где n > m, то по крайней мере в одном ящике будет более одного объекта.

Теорема о числе корней

Теорема о числе корней утверждает, что многочлен степени n над конечным полем имеет не более n корней. Это означает, что многочлен может иметь меньшее число корней, чем его степень. Например, многочлен x^2 — 1 имеет только два корня, несмотря на то, что его степень равна двум.

Теорема о поле разложения

Теорема о поле разложения утверждает, что любой многочлен над конечным полем может быть разложен на линейные множители в расширении этого поля. Это означает, что можно найти такое расширение, в котором многочлен будет иметь все свои корни.

Пример

Рассмотрим многочлен x^3 — x над конечным полем F_5, где F_5 — поле из пяти элементов {0, 1, 2, 3, 4}. Для нахождения корней этого многочлена, мы можем просто подставить каждый элемент поля вместо x и проверить, равно ли выражение нулю. При подстановке 0 получаем 0^3 — 0 = 0, при подстановке 1 получаем 1^3 — 1 = 0, при подстановке 2 получаем 2^3 — 2 = 6 mod 5 = 1, при подстановке 3 получаем 3^3 — 3 = 24 mod 5 = 4 и при подстановке 4 получаем 4^3 — 4 = 60 mod 5 = 1. Таким образом, корни этого многочлена над полем F_5 — это 0 и 1.

Взаимосвязь корней многочлена над разными числовыми полями

Когда мы говорим о многочленах и их корнях, обычно имеется в виду работа с многочленами, коэффициенты которых принадлежат некоторому числовому полю. Числовые поля могут различаться по своим свойствам, и исследование взаимосвязи корней многочлена над разными числовыми полями является важным аспектом абстрактной алгебры.

1. Корни многочлена и его коэффициенты

Первое, что необходимо понять, это связь между корнями многочлена и его коэффициентами. Если многочлен имеет корень в виде некоторого числа, то это означает, что подставление этого числа в многочлен приводит к нулевому значению. Например, если многочлен имеет корень x=2, то подстановка x=2 в многочлен должна дать 0.

Однако, связь между корнями многочлена и его коэффициентами более сложная. Например, многочлен x^2 — 5x + 6 имеет два корня: x=2 и x=3. Но эти корни не являются простым произведением коэффициентов многочлена (2*3=6) или их суммой (-5+6=1). Более того, корни многочлена зависят от числового поля, над которым определен многочлен.

2. Расширение числовых полей и корней многочлена

Одним из способов исследования взаимосвязи корней многочлена над разными числовыми полями является расширение числовых полей. Расширение числового поля означает добавление новых элементов к этому полю, чтобы получить новое поле, в котором корни многочлена могут быть найдены.

Например, рассмотрим многочлен x^2 — 2. В поле рациональных чисел Q этот многочлен не имеет рациональных корней. Однако, если мы расширим поле Q, добавив к нему корень из 2, то получим поле Q(√2), в котором многочлен x^2 — 2 имеет два корня: √2 и -√2.

Таким образом, расширение числового поля позволяет нам найти корни многочлена, которые не являются элементами исходного числового поля. Это позволяет лучше изучить взаимосвязь корней многочлена над различными числовыми полями и исследовать их свойства.

Практическое применение

Знание о корнях многочлена над разными числовыми полями имеет практическое применение во многих областях науки и инженерии. Рассмотрим некоторые из них:

1. Теория кодирования

В теории кодирования корни многочлена над конечными полями играют важную роль при конструировании кодов, которые используются для передачи и хранения информации. Например, циклические коды и их расширения могут быть построены с использованием корней многочлена над конечным полем.

2. Криптография

Корни многочлена над разными числовыми полями также используются в криптографии для создания эффективных алгоритмов шифрования и проверки подлинности. Например, алгоритм RSA, который широко используется в современной криптографии, основан на сложности факторизации больших целых чисел, которые могут быть представлены в виде корней многочлена над расширенными числовыми полями.

3. Решение уравнений и систем уравнений

Методы корней многочлена также находят применение в решении уравнений и систем уравнений. Решение многочленов над комплексными числами может помочь в нахождении корней уравнений и определении значений переменных в системах уравнений. Это важный инструмент в физике, инженерии и других областях, где требуется решение математических моделей и уравнений.

4. Компьютерная графика

В компьютерной графике корни многочлена над конечными полями используются для генерации и манипуляции графическими объектами. Например, при построении кривых Безье и поверхностей с использованием сплайнов или NURBS, корни многочлена определяют форму и положение объекта.

Это лишь некоторые примеры практического применения знания о корнях многочлена над разными числовыми полями. В целом, понимание этой темы является важным инструментом для разработки алгоритмов и решения различных задач в математике, физике, инженерии и других областях науки.

Оцените статью
Referat-Bank.ru
Добавить комментарий